\section{Ejercicio N 4}

Dada la siguiente red:

\begin{center}
  \begin{tabular} { c | c | c | c | c | c | c }
    Tarea & Precesores Inmediato & a & m & b & Costo(\$) & Recurso (\$/$m^3$) \\
    \hline
    A     &                      & 2 & 3 & 4 & 100       & 20               \\
    B     & A                    & 1 & 1 & 1 & 200       & 20               \\
    C     & B                    & 1 & 1 & 1 & 150       & 20               \\
    D     & A                    & 1 & 2 & 3 & 100       & -                \\
    E     & D                    & 2 & 2 & 2 & 150       & 30               \\
    F     & E, C                 & 1 & 3 & 5 & 200       & -                \\
    G     & F                    & 1 & 1 & 1 & 150       & 10               \\
    H     & D                    & 2 & 3 & 10& 200       & 10               \\
  \end{tabular}
\end{center}

Calcular

\begin{enumerate}
  \item Camino Crítico. Duración y Desvío
  \item Determinar la fecha de finalización para una probabilidad del 80\%.
  \item ¿Cuál es la probabilidad de finalizarlo en 13 días?
  \item ¿Cuál es el valor actual del proyecto y cuál sería su valor si se decidieran cancelar todas las deudas al día 8, teniendo en cuenta para ambos casos una tasa diaria del 0.5\%? (Realizando el diagrama calendario a fecha temprana y pago a la finalización de cada tarea)
  \item ¿Qué cambios habría que introducir en el proyecto original si el proveedor de los materiales de la actividad G asegura que no puede entregar los mismos hasta por lo menos el día 13?
  \item Elaborar la programación de recursos teniendo en cuenta que se tiene una disponibilidad máxima de 30 $m^3$ por día.
\end{enumerate}

\comandoResolucion

Primero, procedemos a armar la red respetando las condiciones de precedencias.

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.40]{04-01}
    \caption{Red}
  \end{center}
\end{figure}

\underline{Duración y desvío de las tareas}

Al contar con tres estimación para la duración de una tarea calculamos la duración de la misma mediante:

\[ t_{r} = \frac{a + 4 m + b}{6} \]

Y calculamos sus desvíos como:

\[ \sigma_{r}  = \frac{b - a}{6} \]

\begin{center}
  \begin{tabular}{c | c | c}
    Tarea & Duración & Desvío \\
    \hline
    A     & 3        & 0,33   \\
    B     & 1        & 0      \\
    C     & 1        & 0      \\
    D     & 2        & 0,33   \\
    E     & 2        & 0      \\
    F     & 3        & 0,67   \\
    G     & 1        & 0      \\
    H     & 4        & 1,33   \\
  \end{tabular}
\end{center}

Con la duración de la tarea, ya podemos determinar la fecha temprana y tardía de cada tarea. Con estos últimos datos, podemos determinar los nodos críticos.

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.40]{04-02}
    \caption{Los nodos críticos son aquellos que están pintados}
  \end{center}
\end{figure}

\underline{Camino crítico}

Ahora, veremos que tareas que están entre nodos críticos son tareas críticas, para ello calculamos el margen total.

\[ MT = FTj - (Fti + dij) \]

\begin{center}
\begin{tabular}{c | c | c | c | c}
  Tarea   & FTj & Fti & dij & MT \\
  \hline
  1-2     & 3   & 0   & 3   & 0  \\
  2-4     & 5   & 3   & 2   & 0  \\
  4-5     & 7   & 5   & 2   & 0  \\
  4-7     & 11  & 5   & 4   & 2  \\
  5-6     & 10  & 7   & 3   & 0  \\
  6-7     & 11  & 10  & 1   & 0  \\
\end{tabular}
\end{center}

O sea, que la tarea 4-7 (la tarea H) no es crítica, el resto si porque los márgenes dieron 0. Entonces el camino crítico es:

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.40]{04-03}
    \caption{Camino crítico}
  \end{center}
\end{figure}

También, podemos calcular la media del proyecto y su desvío como:

\[ \mu = \sum t_{critica} \Rightarrow \mu = 3 + 2 + 2 + 3 + 1 \Rightarrow \]
\[\boxed{ \mu = 11 } \]

\[ \sigma  = \sqrt{\sum \sigma_{r}^{2} } \Rightarrow \sigma = \sqrt{ 0,33^2 + 0,33^2 + 0^2 + 0,67^2 + 0^2 } \Rightarrow \]
\[\boxed{\sigma = 0,81} \]


\underline{Probabilidades}


La fecha de finalización con una probabilidad del 0,8 viene dada por:

\[ P ( \frac{t_{r} - \mu}{\sigma} ) = 0,80\]

Viendo la tabla de la distribución normal, obtenemos que 

\[ \frac{t_{r} - \mu}{\sigma} \approx 0,84 \Rightarrow t_{r} = 0,84 * \sigma + \mu \Rightarrow t_{r} = 0,84 * 0,81 + 11 \Rightarrow \]
\[\boxed{t_{r} = 11,69\;  días}\]

La probabilidad de terminarlo en 13 días viene dada por:

\[ P ( \frac{13 - \mu}{\sigma} ) = P ( \frac{13 - 11}{0,81}) = P ( 2,45 )\]

Viendo la tabla obtenemos que: 

\[ \boxed{P ( terminarlo\; 13 \; días) = 0,992} \]

\underline{Valor actual neto}

Armamos el calendario a fecha temprana y pago a la finalización de la tarea, nos queda así:

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.35]{04-04}
    \caption{Calendario}
  \end{center}
\end{figure}

Con los datos presentados en el gráfico podemos calcular VAN como:

\[ VAN = Costo \ast ( 1 + i )^{ t - n }  \]

La tasa de interés es $i = 0,005$. En este caso, para el valor actual del proyecto $t = 0$.

\[ VAN = \frac{Costo}{1,005^{ n } } \]

\begin{center}
  \begin{tabular} { c | c | r }
    Día & Costo   &  VAN      \\
    \hline
    3   & \$100   & \$98,51   \\
    4   & \$200   & \$196,05  \\
    5   & \$250   &	\$243,84  \\
    7   & \$150   &	\$144,85  \\
    9   & \$200   & \$191,22  \\
    10  & \$200   &	\$190,27  \\
    11  & \$150   &	\$141,99  \\
    \hline
    \hline
    \multicolumn{2}{|l|}{Total} & \multicolumn{1}{|r|}{\$1206,74}\\
    \hline
  \end{tabular}
\end{center}

Para el caso en que las deudas se pagaran el día 8, $t = 8$

\[ VAN = Costo \ast 1,005^{ 8 - n }  \]

\begin{center}
  \begin{tabular} { c | c | r }
    Día & Costo   &  VAN      \\
    \hline
    3   & \$100   & \$102,53  \\
    4   & \$200   & \$204,03  \\
    5   & \$250   &	\$253,77  \\
    7   & \$150   &	\$150,75  \\
    9   & \$200   & \$199,05	\\
    10  & \$200   &	\$198,01  \\
    11  & \$150   &	\$147,77	\\
    \hline
    \hline
    \multicolumn{2}{|l|}{Total} & \multicolumn{1}{|r|}{\$1255,87}\\
    \hline
  \end{tabular}
\end{center}

\underline{Restricción de fechas}

Si la actividad G no se puede empezar antes del día 13 porque antes de esa fecha no se recibirán los materiales, entonces, tenemos que modificar la fecha temprana de inicio de la actividad G. En función a esto, deberemos actualizar luego las fechas tardías de toda la red.

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.40]{04-05}
    \caption{Los recursos de la actividad G llegan en el día 13}
  \end{center}
\end{figure}

En el gráfico de arriba vemos que el proyecto puede empezarse 5 días después sin alterar el día de finalización.

\underline{Planificación de recursos}

Con el calendario actual, la distribución de recursos por día sería la siguiente:

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.35]{04-06}
    \caption{Los recursos del calendario original se encuentran distribuidos de esta manera}
  \end{center}
\end{figure}
 
Pero sabemos que se tiene una disponibilidad máxima de $30 m^3$ por día, por lo tanto, tendremos que modificar el calendario para no superar esa cantidad los días 5 y 6. Aprovechando que la actividad H se la puede comenzar dos días después, el calendario nos quedaría de la siguiente manera:

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.35]{04-07}
    \caption{Nuevo calendario teniendo en cuenta la restricción de no más de $30 m^3$ por días}
  \end{center}
\end{figure}
